特朗普出招后 美国又向中国提出一个奇怪要求特朗普洋垃圾废物

A Boole-algebra (George Boole-ról kapta a nevét) a programvezérelt digitális számítógép kidolgozásának matematikai alapja. A Boole-algebra informatikai értelemben olyan mennyiségek k?z?tti ?sszefüggések t?rvényszer?ségeit vizsgálja, amelyek csak két értéket vehetnek fel. A kijelentéslogika pl., amely a logika algebrájának egy interpretációjaként fogható fel, olyan kijelentésekkel dolgozik, amelyek vagy "igazak", vagy "hamisak", és keressük az olyan kijelentések valóságtartalmát, amelyek helyes vagy hamis elemi kijelentésekb?l tev?dnek ?ssze.

A Boole-algebra másik interpretációja a kapcsolási algebra. Alapjául olyan kapcsolási elemek szolgálnak, amelyek csupán két, egymástól kül?nb?z? állapotot vehetnek fel, például egy áramk?rben vagy folyik áram, vagy nem; mágneses állapot fennáll vagy sem stb. A kapcsolási algebra azt vizsgálja, hogy az ilyen kapcsolási elemekb?l ?sszeállított háló kimenetén a lehetséges két állapot melyike valósul meg, ha az elemek az egyik vagy másik lehetséges állapotban vannak. Ezért a Boole-algebra az elektronikus digitális számítógép konstruálásának nélkül?zhetetlen elméleti alapja.

A bináris, logikai vagy Boole-féle változóknak nevezett mennyiségek kétérték?ségét két jel bevezetésével fejezik ki. Ezek: "0" és "1" vagy "O" és "L". A logikai változók k?z?tti ?sszefüggéseket matematikailag a függvény fogalmával lehet leírni. Nevezhetjük ezeket logikai függvényeknek, valóságfüggvényeknek vagy kapcsolási függvényeknek.

Operátorok, m?veletek

Logikai alapm?veletek az $\land$ (éS, Konjunkció), $\lor$ (VAGY, Diszjunkció) és $\lnot$ (NEGáLT, Negáció). Minden további definiált alapm?velet ?sszetett, ezekb?l levezethet?:

Implikáció

olyan kétváltozós m?velet, amelynek értéke csak akkor nem igaz, ha A logikai értéke igaz és B logikai értéke nem igaz. Ezt az ?sszetett m?veletet – gyakori használata miatt – ?nálló m?veletnek tekintjük.

Az implikáció jele: $A\Rightarrow B$

Alapm?veletekkel kifejezve:

$A\Rightarrow B=\neg A\vee B$

Ekvivalencia

olyan kétváltozós logikai m?velet, amely az A, B állításokhoz az "A akkor és csak akkor, ha B" állítást rendeli hozzá. A m?velet eredménye abban az esetben igaz, amikor A állítás és B állítás is igaz, vagy amikor sem az A sem a B állítás nem igaz. A feltétel tehát a két logikai érték egyezése.

Az ekvivalencia jele: $A\Leftrightarrow B$

Definíciója az alapm?veletek segítségével kifejezve:

$A\Leftrightarrow B=(A\wedge B)\vee (\neg A\wedge \neg B)$

Mivel az implikáció el?állítható diszjunkció és negáció segítségével, ezért másképp is kifejezhetjük az ekvivalenciát:

$A\Leftrightarrow B=(\lnot A\lor B)\wedge (\lnot B\lor A)$

Kizáró vagy

A kizáró vagy m?velet abban kül?nb?zik a diszjunkciótól, hogy nem engedi meg, hogy a két állítás logikai értéke egyszerre igaz legyen. A m?velet eredménye akkor hamis, ha mindkét állítás logikai értéke megegyezik. Ezt úgy is lehet értelmezni, mint ?kül?nb?z? / nem azonos” m?veletet a két operandus k?z?tt.

Igazságtáblázata

A $p\,\mathrm {XOR} \,q$ (másképp írva $p\oplus q$ vagy $p\neq q$) igazságtáblája a k?vetkez?:

p	q	⊕
H	H	H
H	I	I
I	H	I
I	I	H

Vegyük észre, hogy a végeredmény hármas szimmetriát mutat: a táblázat fejlécében lev? $p$, $q$, és $\oplus$ feliratok bármelyikét felcserélve is igaz marad a táblázat.

Venn-diagram

Az $A\oplus B$ Venn-diagramja (az igaz érték pirossal van jel?lve)

Scheffer-féle m?velet

A logikai változók értéke

Kétváltozós kifejezések értéke, a változók értékét?l és a rájuk alkalmazott m?velett?l függ, amit igazságtáblázat segítségével szemléltetünk. A Boole-algebra alapm?veleteinek igazságtáblázata így néz ki:

Konjunkció $\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

Diszjunkció $\lor$ 0 1 0 0 1 1 1 1

Negáció   $\neg$ 0 1 1 0

A logikai függvények

Egy logikai függvény az n független, bemen? változó valamely meghatározott érték- vagy bemeneti kombinációjához a kimen?, függ? változó egy értékét rendeli hozzá. Ezt a hozzárendelést logikai m?veletnek is nevezik.

Ha a logikai függvénynek csak egyetlen változója van: $x$, és ennek csak két kombinációja lehet, $k_{0}$-ra $x=0$ és $k_{1}$-re $x=1$, és értéke $(y)$ $k_{0}$-nál $y=1$ $k_{1}$-nél pedig $y=0$, akkor ez a negáció.

A negáció

	$k_{0}$	$k_{1}$
$x=$	0	1
$y=$	1	0

A negációt szimbolikusan $y={\bar {x}}$ alakban szokták írni. Két egymás utáni negáció egymás hatását nyilván lerontja, ${\bar {\bar {x}}}=x$. A kettes számrendszerbeli számok negációjára érvényesek a k?vetkez? szabályok: $O=L$, $L=O$.

A logikai függvényeknek a kapcsolási algebrában való alkalmazásánál kül?n?sen jelent?sek az $x_{1}$, $x_{2}$ kétváltozós függvények. ?sszesen 16 ilyen függvény van. Két bemenetnél $2^{2}=4k_{i}$ kimeneti kombináció lehet, mivel mindegyik változó a másiktól függetlenül felveheti a 0 vagy az 1 értékét; minden bemeneti változóhoz hozzárendelhet? az $y$ kimeneti változó 0 vagy 1 értéke, és így ?sszesen $(2^{2})^{2}=16$ kül?nb?z? hozzárendelés lehetséges.

A diszjunkció

A diszjunkció az $y$ kimeneti változóhoz $y=0$ értéket rendel, ha mind a két bemeneti változó: $x_{1}$ és $x_{2}$, vagy mind a kett? az 1 értéket veszi fel, akkor $y=1$.

A diszjunkció értéktáblázata

	$k_{0}$	$k_{1}$	$k_{2}$	$k_{3}$
$x_{1}=$	0	0	1	1
$x_{2}=$	0	1	0	1
$y=$	0	1	1	1

A függvénytáblázatból megkaphatók a kettes számrendszerbeli számokra vonatkozó számolási szabályok.

Duális számok diszjunktív kapcsolata
O$\vee$O=O
L$\vee$O=L
O$\vee$L=L
L$\vee$L=L

A diszjunkció k?zvetlenül érthet?, szavakban való megfogalmazása "$x_{1}$ vagy $x_{2}$", szimbolikusan $y=x_{1}\vee x_{2}$.

A konjunkció csak akkor rendeli el az $y$ kimeneti változóhoz az $y=1$-et, ha mind az $x_{1}$, mind az $x_{2}$ értéke 1.

A konjunkció függvénytáblázata

	$k_{0}$	$k_{1}$	$k_{2}$	$k_{3}$
$x_{1}=$	0	0	1	1
$x_{2}=$	0	1	0	1
$y=$	0	0	0	1

A függvénytáblázatból megkapjuk a kettes rendszerbeli számokra vonatkozó számolási szabályokat.

Duális számok konjunktív kapcsolata
$O\wedge O=O$
$L\wedge O=O$
$O\wedge L=O$
$L\wedge L=L$
A konjunkció m?veletét $\wedge$ vagy & jel?ljük.

Kétbemenet? tetszés szerinti logikai ?sszefüggés el?állításához nincs szükség mind a 16 lehetséges logikai függvényre. Elég erre a konjunkció és a diszjunkció, ha hozzávesszük még a negációt is. Például a "sem-sem" m?velet (antivalencia), amit szavakban "sem $x_{1}$, sem $x_{2}$"-nek mondhatunk, kifejezhet? a fenti három függvénnyel.

A sem-sem m?velet függvénytáblázata

	$k_{0}$	$k_{1}$	$k_{2}$	$k_{3}$
$x_{1}=$	0	1	0	1
$x_{2}=$	0	0	1	1
$y=$	0	1	1	0

A sem-sem m?velet negációból, diszjunkcióból és konjunkcióból tev?dik ?ssze

$x_{1}=$	0	1	0	1
$x_{2}=$	0	0	1	1
$z_{1}=x_{2}\vee x_{1}=$	0	1	1	1
${\overline {x}}_{1}=$	1	0	1	0
${\overline {x}}_{2}=$	1	1	0	0
$z_{2}={\overline {x}}_{2}\vee {\overline {x}}_{1}=$	1	1	1	0
$y=z_{1}\wedge z_{2}=$	0	1	1	0

Ha k?vetjük a táblázat sorait felülr?l lefelé, észrevehet?, hogy a "sem-sem" a k?vetkez? kapcsolatokkal helyettesíthet?:
1. diszjunkció, $z_{1}=x_{2}\vee x_{1}$;
2. diszjunkció, $z_{2}={\overline {x}}_{2}\vee {\overline {x}}_{1}$ és
3. konjunkció $y=z_{1}\wedge z_{2}$.

általánosan igaz:
n bináris változó minden logikai kapcsolata kivétel nélkül visszavezethet? az egyes változók diszjunkcióira, konjunkcióira és negációira.

A számítóberendezések m?k?dése

Az elektronikus digitális számítógépekben információkat dolgoznak fel: az els?dleges jelekb?l logikai ?sszefüggések segítségével másodlagos jeleket állítanak el?. Az ehhez szükséges kapcsolási elemek csak két állapotot vehetnek fel, a 0-t és az 1-et. Az elérend? kapcsolatok létrehozására a kapcsolási elemeket a kapcsolási hálózat áramk?reivé, kapcsolási hálózatokká k?tik ?ssze. A kapcsolásalgebrában nem az a lényeges, hogy a kapcsolási elemeket mechanikus kapcsolók, jelfogók vagy elektronikus kapcsolók valósítják meg, hanem az, hogy milyen szerepet játszanak egy rendszerben.

A k?vetkez? példában a kapcsolási elemek jelfogók.

Elvileg a jelfogó olyan tekercs, amely egy kapcsolót nyit vagy zár aszerint, hogy a tekercsben áram folyik – 1 állapot – vagy nem folyik rajta keresztül áram (0 állapot). Megkül?nb?ztetünk munkakapcsolót és nyugalmi kapcsolót.

A munkakapcsoló a 0 helyzetben nyitott, így a vezetékben, amit a kapcsoló megszakít, nem folyik áram; az 1 állapotban a tekercs mágneses tere zárja a kapcsolót, és a vezetékben is folyik áram.

Munkakapcsoló és nyugalmi kapcsoló

	munkakapcsoló		nyugalmi kapcsoló
a tekercsen át folyik-e áram	nem	igen	nem	igen
jelfogó állapota	0	1	0	1
lámpa állapota	0	1	1	0

A nyugalmi kapcsoló nyilvánvalóan a munkakapcsoló negációját állítja el?.

Minden logikai függvényhez találhatók analóg elektromos kapcsolások.

Például az $y=x_{1}\wedge x_{2}$ konjunkciónak leegyszer?sített ábrázolással – két, sorba kapcsolt munkakapcsoló felel meg; a lámpa csak akkor ég ($y=1$), ha az $x_{1}$ és $x_{2}$ kapcsolók mindegyike zárt. A diszjunkciónak két, párhuzamosan kapcsolt munkakapcsoló felel meg; a lámpa akkor ég, ha vagy az egyik, vagy a másik, vagy mind a két kapcsoló zárt.

A logikai kapcsolásoknál még további részletekt?l is el szoktak tekinteni, és az áramk?r?ket csak szimbolikusan ábrázolják.

Mivel a modern integrált áramk?r?k a fenti logikai alap?sszefüggéseket vagy azok bonyolult kombinációját tartalmazzák egyetlen alkatrészként, ezért a modern gépek logikai vázlata egyben a kapcsolási rajzzal azonos. (Egy-egy integrált áramk?r általában csak t?bb logikai szimbólum segítségével írható le.) Egészen magas szint? integrálásnál pedig egyetlen félvezet? lapkán lehetséges egy digitális számítógép teljes funkcionalitását megvalósítani. Ilyen esetben az alkatrész és a számítógép tervezése azonossá válik.

A kapcsolási algebra a szintézisben elemi logikai függvényeket – például negációkat, diszjunkciókat, konjunkciókat – olyan hálózattá kapcsol ?ssze, amely el?re megadott teljes logikai kapcsolatot állít el?. Az analízis viszont megadott hálózatot elemez.